级数是无穷多个数的求和。收敛性描述了这种"无限累加"是否趋近于一个确定的有限值。
给定一个数列 $\{a_n\}$，将其各项依次相加所形成的表达式称为无穷级数：
定义部分和 $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$。若极限 $\displaystyle\lim_{N\to\infty} S_N = S$ 存在且有限，则称级数收敛于 $S$；否则称其发散。
若级数收敛，则必有 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。
注意：反之不成立！
若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$，则级数必定发散。
这是判断发散最快捷的方法。
想象你在数轴上跳跃：每一步的大小是 $a_n$。如果级数收敛，你最终会停在某个确定的点上。
点击按钮观察不同级数部分和数列的收敛/发散行为
几何级数 $\sum ar^{n-1}$ 是最基础也最重要的级数之一。拖动滑块改变公比 $r$，观察收敛与发散的临界现象。
$S = \frac{1}{1-0.5} = 2.000$
$S_{20} = 2.000$
提示： 当 $|r| \geq 1$ 时级数发散；$r = 1$ 时发散到 $+\infty$；$r \leq -1$ 时振荡发散。
p-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 的收敛性完全由指数 $p$ 决定。探索 $p$ 如何控制级数的命运。
当 $p > 1$ 时，级数收敛。著名的 Basel 问题：$\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
上图：通项 $a_n = 1/n^p$ 的衰减曲线 | 下图：部分和 $S_N$ 的增长趋势
交错级数各项正负交替，其收敛条件由莱布尼茨判别法优雅地刻画。观察部分和如何在真实值两侧"舞蹈"逼近极限。
若满足：$(1)\ b_n \geq b_{n+1}$（单调递减）；$(2)\ \lim b_n = 0$，则级数收敛。
$|R_N| \leq b_{31} = 0.032$
$S_{30} \approx 0.683$，真实值在 $0.683 \pm 0.032$ 内
绿色区域 = 误差界 | 红线 = 部分和轨迹 | 白虚线 = 极限值
掌握判别法是分析级数收敛性的核心能力。通过交互演示理解每种判别法的原理与适用场景。
通过与已知级数比较来判断收敛性。
通过相邻项之比的极限判断收敛性，特别适用于含阶乘或指数的级数。
通过通项的 $n$ 次方根的极限判断收敛性，适用于通项为 $n$ 次幂的形式。
通过 8 道精选练习题检验你对级数收敛性的理解程度。